Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc.
Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.
Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos 
a la variación de f cuando x varía de xo a xo + h y 
a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, D f @ D RT .
Podemos expresar a D RT en términos de h y el ángulo q que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:
En virtud de que D RT es un aproximador de la DIFERENCIA D f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,
df = f '(xo)h
Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:
df = f ' (xo)h = (2xo)h
que también lo podemos expresar como:
d(x2) = (2xo)h
Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:
a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h
b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h
c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h
En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h
Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:
df = f '(xo)dx
Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.
En los siguientes ejemplos estimaremos la variación D f para xo y h dados y la compararemos con el diferencial.
Ejemplo . Verifique que:
a) Para f(x) = x2 se cumple que D f @ df en xo = 1 y h = 0.1
Solución:
D f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima.
APLICACIONES DEL DIFERENCIAL
PROBLEMAS DEL TIPO I.
A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación práctica en los que, por medio del diferencial, estimaremos un aumento ó una disminución en alguna función.
Ejemplo 1. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.
Solución: Con el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la diferencia de áreas D A y la compararemos con dA.
Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15, después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura.
En este caso la función es A(L) = L2 y por lo tanto D A en L = 15 y h = 0.04 es:
A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016
Si ahora calculamos el diferencial de área para A(L) = L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos:
dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15)(0.004) = (30)(0.004) = 1.2
En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el área aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es 1.2016)
Generalmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225 = (15)2, decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el área se incrementará aproximadamente en un 0.5333%.
Observación: Si el problema es de una placa metálica del mismo tamaño que se enfría 0.04 cm, entonces h = -0.04 y el diferencial resultaría el mismo sólo que con signo contrario, es decir dA = -1.2. Como estamos usando la recta tangente para estimar la diferencia, la linealidad hace que el cateto opuesto en ambos triángulos de la figura, sean iguales
Resolvamos ahora el mismo problema con otros datos expresados porcentualmente
Ejemplo 2. Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?.
Solución: El 0.03% de 20 es 
, por lo que en este caso:
A(L) = L2 , Lo = 20 y dL = -0.006
D A @ dA = 2LdL = 2(20)(-0.006) = (40)(-0.006) = -0.24
Podemos calcular que 0.24 representa el 0.06% de (20)2, por lo que, cuando el lado disminuye un 0.03%, el área disminuye aproximadamente un 0.06%, es decir se duplica porcentualmente.
Este último resultado lo podemos obtener directamente de la siguiente manera:
D A @ dA = 2LdL = 2(20)[
] = 
que representa el 0.06% del área original (20)2.
