AIND-UNI2-TEMA1

2. Representación de la derivada como función

2.1. Grafica los máximos y mínimos en funciones lineales y no lineales, para localizar los puntos de inflexión.

A. Cálculo de derivadas por fórmulas.

• Definición de la derivada.
• Funciones
• Regla de la cadena
• Funciones implícitas
• Funciones sucesivas
• Aplicación de razón de cambio
• Incrementos y diferenciales

Definición de Derivadas:

La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación.

Concepto:

Ya sabes que la tasa de variación instantánea de f(x) en un punto a, T.V.I.(a), nos dice la rapidez de cambio de f(x) en ese punto. A esa tasa de variación instantánea de f(x) en el punto también se le llama derivada de la función en el punto, y se denota habitualmente f'(a). Así, pues:

T.V.I.(a) =f'(a)=limh→0 f(a+h)−f(a)h

Reglas de la Cadena

Una función compuesta es una función que implica la imposición de una función a otra función. Sea f(x) una función que es diferenciable sea g(x) cualquier otra función que también es diferenciable.

Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva función h(x), la cual es una combinación de las dos funciones diferenciables.

h(x) = f(x) 0 g(x)

Considere una función, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x2 + 4x +5)

Sería bastante fácil de encontrar.

Pero si fuese encontrar la derivada de una función como la siguiente, y(x) = (x3 + 4x +5)60 entonces sería un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema fácil de resolver entonces habría sido mucho más simple.

Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una función compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que tenía la intención de encontrar la derivada de funciones compuestas.

De acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas pueden ser consideradas como fracciones a fin de resolver el problema como,

Así que la regla de la cadena para la diferenciación de una función compuesta es la siguiente,

Vamos a tratar primero de resolver el ejemplo que se ilustra arriba sin la regla de la cadena y después utilizando la regla de la cadena para entender la diferencia entre ambos métodos.

d (x2 + 4x +5)2 / dx

= d(x4+ 8x32 + 26x2 + 40x +25) /dx

= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40

La solución anterior fue realizada sin utilizar la regla de la cadena.

Ahora intentemos solucionarla con la regla de la cadena,

d(x2 + 4x +5)2/ dx

= 2(x2 + 4x +5) * (2x + 4)

= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40

Como se puede observar se obtiene la misma respuesta, pero requiere un esfuerzo mucho menor debido a la reducción del cálculo envuelto en el enfoque convencional.

Ver la siguiente video lección 1

Ver la siguiente video lección 2

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