sábado, 10 de abril de 2021

aind-uni1-tema4

Haciendo un paréntesis 

Esta materia, una parte de la física y matemáticas, tiene que ver con el cálculo.
Pero, ¿Qué es el cálculo?

VIDEO T4-1 

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📣 EVIDENCIA 2, TOMA DE APUNTES. SEGUNDO PERIODO. 
📌 FECHA LIMITE DE ENTREGA: MARTES 27 DE ABRIL 
A EMAIL: alejandrotapia.conalepzamora@gmail.com 

ACTIVIDAD A HACER: 

1) Ver el video T4-1 Y hacer un resumen de lo visto, anexándole  tu conclusión.

2) Anotar al menos 2 ejemplos en tu cuaderno, ilustrándolos lo mejor posible. Básate en los videos T4-3, T4-4, T4-5 o T4-6.

Recuerda tomar fotografía o imagen clara de tus apuntes, pega las imágenes en un documento de Microsoft Word o simplemente hazlo en una hoja de papel y ponle siempre portada a tus trabajos. 

Razones de Cambio

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. 


En general, en una relación funcional y=f(x)y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente yy respecto a la independiente xx se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t[f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.

En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando tttiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función. 

Ver el siguiente video

VIDEO T4-2


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Ejemplo en video

VIDEO T4-3 ejemplo 1

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VIDEO T4-4 ejemplo 2




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VIDEO T4-5 ejemplo 3

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VIDEO T4-6  ejemplos finales 


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Ejemplo

En un pueblo el primer día se recolectó 1 kg de basura. El segundo día se recolectó 2 kg. El tercer día se recolectaron 3 kg de basura, y así sucesivamente. El k-ésimo día se recolectaron k kilogramos de basura. ¿Cuál es la razón de crecimiento promedio e instantánea de la cantidad de basura que han acumulado?

Nos están pidiendo la razón de crecimiento de la cantidad de basura que se ha acumulado desde el primer día. En otras palabras, nos piden que sumemos:

\begin{equation*} S = 1 + 2 + 3 + \cdots + k \end{equation*}

Esta suma se calcula muy fácilmente si consideramos que la suma tiene la propiedad conmutativa:

  \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& \cdots &+& k \\ S &=& k &+& k-1 &+& k-2 &+& \cdots &+& 1 \\\hline 2\,s &=& (k+1) &+& (k+1) &+& (k+1) &+& \cdots &+& (k+1) \end{array}\]

En la suma se repite el sumando k+1 un total de k veces, por eso:

  \begin{equation*} 2\,S = k\cdot(k+1) \end{equation*}

Y la cantidad de kilogramos de basura acumulada en ese pueblo es de:

  \begin{equation*} S = \frac{k\cdot(k+1)}{2} \end{equation*}

Ahora podemos estudiar su razón de cambio. Entonces, la razón de cambio es:

  \begin{eqnarray*} \Delta \bar{S} &=& \mbox{kg acumulados al d\'ia }k - \mbox{kg acumulados al d\'ia }k-1\\ \Delta \bar{S} &=& \frac{k\cdot(k+1)}{2} - \frac{(k-1)\cdot k}{2}\\ &=& \frac{k\cdot\left[k + 1 - (k - 1)\right]}{2}\\ &=& \frac{k\cdot\left[2\right]}{2}\\ &=& k \end{eqnarray*}

Esto tiene sentido, pues en el día k-ésimo agregamos k kilogramos de basura al acumulado. Ahora calcularemos la razón de crecimiento instantánea. Consideramos un incremento \Delta t de tiempo,

  \begin{eqnarray*} \frac{\Delta S}{\Delta t} &=& \frac{S(k + \Delta t) - S(k)}{\Delta t} \\ &=& \frac{(k + \Delta t)\cdot(k + \Delta t + 1)}{2\,\Delta t} - \frac{k\cdot(k+1)}{2}\\ &=& \frac{k^2 + k\,\Delta t + k + k\,\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t - k^2 - k}{2\,\Delta t}\\ &=& \frac{2\,k\,\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t}{2\,\Delta t}\\ &=& k + \Delta t \end{eqnarray*}

Cuando \Delta t tiende a cero, obtenemos la razón de cambia instantánea, que en este caso es: k.


Ejemplo 2


Un tren se mueve con una velocidad v (medida en metros por segundo) que es igual a la raíz cuadrada del tiempo en minutos que lleva en movimiento, es decir,

  \begin{equation*} v = \sqrt{t} \end{equation*}

Calcula la velocidad instantánea del tren a los 4 minutos de iniciar su viaje.

Sabemos que la velocidad es igual a la raíz cuadrada del tiempo. Así que vamos a aplicar los cuatro pasos para calcular la velocidad instantánea a los 4 minutos.


Paso 1: Damos un incremento a t para calcular v + \Delta v:

  \begin{equation*} v + \Delta v = \sqrt{t + \Delta t} \end{equation*}

Paso 2: Restamos la función original para obtener \Delta v:

  \begin{eqnarray*} v + \Delta v - \textcolor{red}{v} &=& \sqrt{t + \Delta t} - \textcolor{red}{\sqrt{t}}\\ \Delta v &=& \sqrt{t + \Delta t} - \textcolor{red}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}

Paso 3: Dividimos entre \Delta t para calcular la velocidad promedio:

  \begin{equation*} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\sqrt{t + \Delta t} - \textcolor{red}{\sqrt{t}}}{\Delta t} \end{equation*}

Si calculamos el límite de este cociente obtendremos cero sobre cero. Así que vamos a racionalizar la fracción. Para eso, multiplicaremos tanto en el numerador como en el denominador por \sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}:

  \begin{eqnarray*} \frac{\Delta v}{\Delta t} &=& \frac{\sqrt{t + \Delta t} - \sqrt{t}}{\Delta t}\cdot\frac{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}}\\ &=& \frac{t + \Delta t - t}{\left(\Delta t\right)\left(\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}\right)}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}} \end{eqnarray*}

Ahora sí podemos continuar con el cuarto paso.

Paso 4: Calculamos el límite cuando \Delta t tiende a cero para obtener la velocidad instantánea:

  \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}}\right)}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{t + 0} + \sqrt{t}}\\ &=& \frac{1}{2\,\sqrt{t}} \end{eqnarray*}

Después de 4 minutos de haber iniciado su viaje su velocidad instantánea es:

  \begin{eqnarray*} \left. \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)} \right\vert_{t=4} = \left. \frac{1}{2\,\sqrt{t}} \right\vert_{t=4} = \frac{1}{2\,\sqrt{4}} = \frac{1}{2\cdot(2)} = \frac{1}{4} = 0.25 \mbox{ m/s.} \end{eqnarray*}

Entonces, el tren lleva una velocidad de 25 centímetros por segundo 4 minutos después de haber arrancado.

APLICACIÓN DE LA RAZÓN DE CAMBIO EN LA VIDA REAL

Veamos los siguientes videos:


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